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高等數(shù)學(xué)證明題500例 pdf 高等數(shù)學(xué)證明題500例怎么樣篇一

∵【從題目已知條件找】(已知)∴【從上一步推結(jié)論】(定理)??(寫(xiě)上你所找的已知條件然后推出結(jié)論進(jìn)行證明，最好“∴”后面都標(biāo)上所根據(jù)的定理)∴【最終所證明的】

就是不知道怎么區(qū)分這兩種證明格式： 1 當(dāng) 時(shí)，滿(mǎn)足。并證明

回答時(shí)好像要把該滿(mǎn)足的內(nèi)容當(dāng)做條件證明 2 試探究。。。。同上

怎么回答時(shí)就要自己在草稿本上算出當(dāng) 時(shí)，然后把它作為條件 得到滿(mǎn)足 的結(jié)論 2 1 當(dāng) xx 時(shí)，滿(mǎn)足。是以xx為條件，做出答案。2 試探究。。。。是以。。。。。為條件，做出答案 3 把已知的作為條件 因?yàn)?已知的內(nèi)容)因?yàn)闂l件得出的結(jié)論 所以(因?yàn)橐阎赖臇|西)順順順 最后就會(huì)得出 題目所要求的 東西了 謝謝 數(shù)學(xué)我的強(qiáng)項(xiàng) 盡管問(wèn)我吧 謝謝..............4 格式就按照你的想法寫(xiě)就行。要說(shuō)的是，不少證明題是可以“騙分”的。假如有一道題是要求證某三角形的形狀，你知道是等邊三角形，到不會(huì)算，那你就可以利用等邊三角形的特性，隨便寫(xiě)。多多益善，只要不是錯(cuò)的。老師改卷時(shí)一般先看結(jié)果，結(jié)果對(duì)的話(huà)，只要過(guò)程沒(méi)有很明顯毛病就會(huì)得到大部分分?jǐn)?shù)。就是是被看出是錯(cuò)的，因?yàn)槟銓?xiě)的特性沒(méi)錯(cuò)。老師也不會(huì)給你零分。

試論推理格式與數(shù)學(xué)證明方法孫宗明摘要本文以命題真值代數(shù)的基本知識(shí)為依據(jù)，闡述五種主要的數(shù)學(xué)證明方法：演繹法、完全歸納法、反證法、半反證法、數(shù)學(xué)歸納法。關(guān)鍵詞推理，推理格式，數(shù)學(xué)證明本文假定熟知命題真值代數(shù)的基本知識(shí).本文所使用的符號(hào)是標(biāo)準(zhǔn)的，見(jiàn)【川.1 1 當(dāng) xx 時(shí)，滿(mǎn)足。是以xx為條件，做出答案。2 試探究。。。。是以。。。。。為條件，做出答案 3 把已知的作為條件 因?yàn)?已知的內(nèi)容)因?yàn)闂l件得出的結(jié)論 所以(因?yàn)橐阎赖臇|西)順順順 最后就會(huì)得出 題目所要求的 東西了 謝謝 數(shù)學(xué)我的強(qiáng)項(xiàng) 1 當(dāng) xx 時(shí)，滿(mǎn)足。是以xx為條件，做出答案。2 試探究。。。。是以。。。。。

高等數(shù)學(xué)證明題500例 pdf 高等數(shù)學(xué)證明題500例怎么樣篇二

正文: 不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，也是解題的一種十分重要的思想方法。在中學(xué)證明不等式一般有比較法，綜合法，分析法，反證法，判別法，放縮法，數(shù)學(xué)歸納法，利用二項(xiàng)式定理和變量代換法等等，其中包含了很多的技巧，從而證明的難度也比較大，下面就利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行不等式的證明，從中也可看出不等式的證明具有很大的靈活性。利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，首先引入下面的定理： 定理1：設(shè)有兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x),滿(mǎn)足：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開(kāi)區(qū)間（a,b)內(nèi)可導(dǎo)有f'(x)>g'(x)(或 f'(x)g(x)成立。例1：求證：ex-1>x(當(dāng)x>0時(shí))從例題可以看出，在不等式的中有ex形式的指數(shù)形式，如用初等代數(shù)來(lái)證明則有一定的難度，如用高等數(shù)學(xué)中上面的定理則非常直觀。分析1：要證ex-1>x，可以設(shè)f(x)=ex-1,g(x)=x 這樣就轉(zhuǎn)化成定理1的形式。證明：設(shè)f(x)=ex-1,g(x)=x 并且知：f(x),g(x)在[0,∞)連續(xù)，并在(0,∞)可導(dǎo) 有：f'(x)=ex >g'(x)=1(當(dāng)x>0)并有 ：f'(0)=e0=1 g'(0)=1 即：f'(0)=g'(0)所以根據(jù)定理1有：f(x)>g(x)即：ex-1>x 這樣通過(guò)高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的基本性質(zhì)就可以證明。

另外，也可以將不等式轉(zhuǎn)化成：ex-x-1>0，證明方法同上（略）。如果不等式中的次數(shù)較高，形式也比較復(fù)雜，這可能需要多次轉(zhuǎn)化，才能達(dá)到目標(biāo)，通過(guò)下面的例子不難看出這一點(diǎn)。

例2：設(shè)a>ln2-1為任一常數(shù)，求證：當(dāng)x>0時(shí),有x2-2ax+10 不妨設(shè)：f(x)=ex-x2+2ax-1 有：f(0)=0 則：f'(x)=ex-2x+2a 現(xiàn)在只需證明：f'(x)>0即可證明f(x)>0 下面分析證明：f'(x)>0 設(shè)g(x)=f'(x)=ex-2x+2a 有：g(0)=e0+2a>1+2(ln2-1)=ln4-1=ln >0(a>ln2-1)又因：g'(x)=ex-2 所以現(xiàn)在只需證：g'(x)≥0就可以證明g(x)>0.即需要證：ex≥2 ⅰ.當(dāng)x≥ln2時(shí)成立.ⅱ.下面考察：當(dāng) 00 g(x)=f'(x)=ex-2x+2a 又知：g'(x)=ex-2 g(0)>0e4所以：g(x)在x=ln2時(shí)為極值點(diǎn)，且為極小值。這樣只要說(shuō)明：g(ln2)>0即可。又因：2-2ln2+2a>0(當(dāng)a>ln2-1時(shí)）所以：在00.綜上所述，可知f'(x)>0.所在在證明不等式過(guò)程中連續(xù)兩次用到求導(dǎo)。有時(shí)在證明不等式時(shí)，如用初等數(shù)學(xué)知識(shí)則比較困難，如果我們能巧妙地構(gòu)造函數(shù)，這樣可使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，其中判斷函數(shù)的單調(diào)性，我們利用了高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)知識(shí)很容易地就解決了。下面利用高等數(shù)學(xué)中的拉格朗中值定理進(jìn)行不等式的證明，下面引入拉格朗日中值定理： 定理2：若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足下列條件：（1）f(x)在[a,b]并閉區(qū)間上連續(xù)；（2）f(x)在(a,b)開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)； 則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a,b),使得 f '(ξ)=f(b)?f(a)成立。

b?a例3：證明：| sinb-sina | ≤| b-a | 分析：我們知道| sinx | ≤1, | cosx |≤1 ,而a,b我們可以假設(shè)其中一個(gè)為較大者，則a,b可組成一個(gè)區(qū)間。再分析sinx函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)可知符合拉格朗日中值定理的條件，從而可以得以證明。證明：若a＝b,則等號(hào)成立。

若a≠b,不妨設(shè)a＜b.設(shè)f(x)=sinx 則f '(x)=cosx 則拉格朗日中值定理知，存在一點(diǎn)ξ∈（a,b)使得： f '(ξ)= cosξ= 又因?yàn)椋簗cosξ|≤1 所以 | sinb-sina| ≤| b-a | 從上面的定理和證明中，我們不難發(fā)現(xiàn)在遇到形如拉格朗日中值定理形式的不等式證明時(shí)，可用此定理，使得證明得以簡(jiǎn)化，其中我們應(yīng)靈活地利用拉格朗日中值定理的各種變形進(jìn)行不等式的證明。利用定積分的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行不等式的證明

在不等式的證明中，我們經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)，有些不等式是求和的形式，這里我們可以利用定積分的定義或是利用積分的關(guān)的性質(zhì)使問(wèn)題得以解決，下面的分析不難發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)。例4：對(duì)任意正整數(shù)n>1 3n?1123n<()n +()n +()n +…… +()n < 2 2n?2nnnn123n分析：不等式中()n +()n +()n +…… +()n 的形式比較復(fù)雜，nnnnsinb?sina

b?a求證：但從中可看出它是一些有相同特性的分式的和。設(shè)f(x)=xn(其中x= ，,……,）可看出：x∈(0,1)則不等式的和為?0xndx,從下圖可看出： 根據(jù)函數(shù)的凸凹性和定積分的定義可證此題。11n2n3nnn證明：設(shè)f(x)=xn , x∈(0,1)因?yàn)閚≥2,可知f(x)為單調(diào)遞增的 凹函數(shù)，(如上圖所示）則有：

1n?1n1)]< ?0xndx= nn?1123n?1n1所以：()n +()n +()n +…… +()<

nnnnn?1123n1所以：()n +()n +()n +…… +()n < +1< 2 nnnnn?11011n?1nn?1nn又因?yàn)椋?[()n +()n +()n +……+()+()+()n ] > 2nnnnnn= [()n +()n +()n +…… +(1n2n3nn?0xndx

n?1nn1nn)+()n-()n > nn2nn?1n1123n所以：+<()n +()n +()n +…… +()n

n?12nnnn3n?1123n即： <()n +()n +()n +…… +()n < 2 2n?2nnnn1所以[()n +()n +()n +…… +(1n2n3n在上面的證明中，我們利用了定積分的定義以及函數(shù)的的一些性質(zhì)。上面的幾個(gè)例子中都利用了函數(shù)，由此可見(jiàn)函數(shù)在不等式的證明中起著非常關(guān)鍵的作用，函數(shù)的構(gòu)造和對(duì)函數(shù)的分析，其中函數(shù)單調(diào)性的判斷利用了高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)的知識(shí)使問(wèn)題簡(jiǎn)化，其次本文利用高等數(shù)學(xué)中的拉格朗日中值定理進(jìn)行不等式的證明，使得具有符合拉格朗日中值定理形式的不等式證明得以簡(jiǎn)化，再次通過(guò)定積分的定義進(jìn)行不等式的證明，以上的問(wèn)題表明高等數(shù)學(xué)在不等式的證明方面存在著很大的優(yōu)勢(shì)，我們還需進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和研究。參考文獻(xiàn)：

[1]《高初數(shù)學(xué)結(jié)合講義 》 首都師范大學(xué)張海山教師 [2]《數(shù)學(xué)分析講義》 高等教育出版社

高等數(shù)學(xué)證明題500例 pdf 高等數(shù)學(xué)證明題500例怎么樣篇三

1.證明：函數(shù)f(x)?(x?2)(x?3)(x?4)在區(qū)間(2,4)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使f??(?)?0。

證明：f(x)在[2,3]上連續(xù)，在(2,3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(2)?f(3)?0，由羅爾定理，至少存在一點(diǎn)?1?(2,3)，使f?(?1)?0，同理，至少存在一點(diǎn)?2?(3,4)，使得f?(?2)?0；f?(x)在[?1,?2]上連續(xù)，在(?1,?2)內(nèi)可導(dǎo)，再一次運(yùn)用羅爾定理，至少存在一點(diǎn)??(?1,?2)?(2,4)，使得f??(?)?0。

2.設(shè)f為[a,b]上的二階可導(dǎo)函數(shù)，f(a)?f(b)?0, 并存在一點(diǎn)c?(a,b)，使得f(c)?0.證明至少存在一點(diǎn)??(a,b)，使得

證明：考慮區(qū)間[a,c]，則f''(?)?0.(10分)f在[a,c]滿(mǎn)足lagrange中值定理的條件，則存在?1?(a,c)，使得f'(?1)?f(c)?f(a)?0.(3分)c?a

f'(?2)?f(b)?f(c)?0.(5分)b?c

lagrange中值定理的條件，則存在同理可證存在?2?(c,b), 使得再考慮區(qū)間[?1,?2], 由條件可知導(dǎo)函數(shù)f'(x)在[?1,?2]上滿(mǎn)足

??(?1,?2)，使得f''(?)?f(?2)?f(?1)?0.得證.?2??1

3.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo),且

證明在[a,b]內(nèi)有f?(x)

證明在[a,b]內(nèi)有f?(x)f?(x)?0f(x)?1xf(t)dt x?a?a?0 ?0

f?(x)?x1[(x?a)f(x)?f(t)dt](2分)2?a(x?a)

=1[(x?a)f(x)?(x?a)f(?)](??[a,x]?[a,b])(2分)(x?a)2

x??f?(?)(??(?,x)?[a,b])x?a=

?f?(x)?0(2分)

1?x)?arctanx 4.證明:當(dāng)x?0時(shí),(1?x)ln（令

f(x)?(1?x)ln(1?x)?arctanx ?0時(shí),f?(x)?ln(1?x)?1?

當(dāng)x所以

?0 2

1?x

f(x)在(0,??)上單調(diào)增(3分)又f(0)?0（?f(x)?0即當(dāng)x?0時(shí),(1?x)ln(1?x)?arctanx(3分)

5.證明：當(dāng)x?

1時(shí)，?3?

1。

x

答案：證：令f(x)??3?

??1?

?，則 x?

f(x)?

'

?2?2(1)，xx

因?yàn)閒(x)在?1,???連續(xù)，并且在?1,???內(nèi)f'(x)?0，因此f(x)在?1,???上單調(diào)增加，從而當(dāng)x?1時(shí)，f(x)?f(1)?0。這就得到

?3?

(x?1)。x

x2,x?0.(8分)6.應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式：ln(1?x)?x?2

證明: 令

x2

f(x)?ln(1?x)?x?,(2分)

x2

f(0)?0,f'(x)??0, x?0.所以

1?x

則

f(x)在[0,+?)上連續(xù)，在(0,+?)上可導(dǎo)，且

f(x)在[0,+?)嚴(yán)格單調(diào)遞增，故f(x)?f(0)?0, x?0.(7分).即

x2

ln(1?x)?x?,x?0.(8分)

7.證明：設(shè)a0?

na1a2a

????n?0，證明函數(shù)f（x）=a0?a1x???anx在（0，1）內(nèi)至23n?1

少有一個(gè)零點(diǎn)。（6分）證明：法一利用定積分：假設(shè)函數(shù)f（x）=a0

?a1x???anxn在（0，1）上沒(méi)有零點(diǎn)

則因f（x）在[0，1]上連續(xù)，姑f（x）恒為正或負(fù)————（1分）從而由定積分性質(zhì)得：

?

f(x)dx?[a0x?

1a12a23a

x?x???nxn?1]

023n?1

=a0

?

a1a2a

????n 23n?1————（4分）

為正或?yàn)樨?fù)，這與假設(shè)矛盾。

所以函數(shù)f（x）在（0，1）上至少有一個(gè)零點(diǎn)。#——（1分）法二利用羅爾定理

設(shè)

=a0

f（x）=

a0x?

a12a23a

x?x???nxn?123n?1，則

f'(x)?

f（x）

?a1x???anxn——（2分）

顯然f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=f（1）=0故由羅爾定理知，在（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使f'(?)即

?0———（3分）

f(?)?0。因此，函數(shù)f（x）在（0，1）上至少有一個(gè)零點(diǎn)。#———（1分）

8.證明：已知?(x)?af

證明：??(x)=af

(x)，且

f?(x)?

1，證明??(x)?2?(x)f(x)lna

(x)

lna?2f(x)f?(x)----------------------4分

=2?(x)lna?f(x)

1----------------------3分 f(x)lna

=2?(x)---------------------------3分

9.若f(x)?a1sinx?

aa2

sin2x???nsinnx，求證：存在c?(0,?)，使得 2n

a1cosc?a2cos2c???ancosnc?0

證：因?yàn)?/p>

f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且

f'(x)?a1cosx?a2cos2x???ancosnx（2分）, f(0)?0?f(?)（3分）所以，由rolle

中值定理得到: f

‘

(x)在(a,b)

內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)（4分），即至少存在一點(diǎn)c

?(0,?), 使得

a1cocs?a2co2sc???anconcs?0

10.證明:|sinx?siny|?|x?y|

證：由微分中值定理得到：sinx?sin

y?(x?y)cos?,?在x與y之間（3分）

所以|sinx?siny|?|x?y||cos?|（5分）?|x?y|（6分）

x

x

11.設(shè)函數(shù)

f(x)在[a,b]上是連續(xù)函數(shù), 且f(x)?0,令f(x)??f(t)dt??

a

b

'

1.f(t)

求證：（1）f（2）f(x)在(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(x)?2；

證：由微積分學(xué)基本定理得到：

f'(x)?f(x)?

f(x)

（1分）

?2

（2分）。因?yàn)?，a

f(a)??

b

a

11=???0；f(b)??f(t)dt?0（3分）則由根的存在性定理得到： f(t)f(t)ab

b

f(x)在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)（4分），由（1）知f(x)在[a,b]上是單調(diào)上升，所以f(x)在(a,b)

內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（5分）

12.設(shè)

f(x)在[0，1]上可導(dǎo)，且f(1)?2?xf(x)dx

。試證明在（0，1）內(nèi)至少有一點(diǎn)?，使

f(?)??f?(?)?0。

證明：設(shè)

g(x)?xf(x)

12，則

g(x)

在[0，1]上可導(dǎo)，又由積分中值定理

g(1)=f(1)?2?xf(x)dx=?f(?)g(?)（?在（0，12）內(nèi)，從而由羅爾定理在（0，?）內(nèi)有?使

f(?)??f?(?)?0證畢。

13.

高等數(shù)學(xué)證明題500例 pdf 高等數(shù)學(xué)證明題500例怎么樣篇四

一．解答題（共10小題）1．已知：如圖，∠a=∠f，∠c=∠d．求證：bd∥ce．

2．如圖，已知∠1+∠c=180°，∠b=∠c，試說(shuō)明：ad∥bc．

3．已知：如圖，若∠b=35°，∠cdf=145°，問(wèn)ab與ce是否平

行，請(qǐng)說(shuō)明理由．

分值：顯示解析

4．如圖，已知cd⊥da，da⊥ab，∠1=∠2．試說(shuō)明df∥ae．請(qǐng)

你完成下列填空，把解答過(guò)程補(bǔ)充完整．

解：∵cd⊥da，da⊥ab，∴∠cda=90°，∠dab=90°．（）

∴∠cda=∠dab．（等量代換）

又∠1=∠2，從而∠cda-∠1=∠dab-

．（等式的性質(zhì)）

即∠3=

．

∴df∥ae．（7．如圖，∠b=55°，∠eac=110°，ad平分∠eac，ad與bc平行嗎？

為什么？根據(jù)下面的解答過(guò)程，在括號(hào)內(nèi)填空或填寫(xiě)理由．

解：∵ad平分∠eac，∠eac=110°（已知）

∴∠ead=

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證明題格式

把已知的作為條件因?yàn)?已知的內(nèi)容)

因?yàn)闂l件得出的結(jié)論所以(因?yàn)橐阎赖臇|西)

順順順最后就會(huì)得出題目所要求的東西了謝謝數(shù)學(xué)我的強(qiáng)項(xiàng)

1當(dāng)xx時(shí)，滿(mǎn)足。是以xx為條件，做出答案。

2試探究。。。。是以。。。。。為條件，做出答案

【需要證的】

∵【從題目已知條件找】(已知)

∴【從上一步推結(jié)論】(定理)

……(寫(xiě)上你所找的已知條件然后推出結(jié)論進(jìn)行證明，最好“∴”后面都標(biāo)上所根據(jù)的定理)

∴【最終所證明的】

就是不知道怎么區(qū)分這兩種證明格式：

1當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足。并證明

回答時(shí)好像要把該滿(mǎn)足的內(nèi)容當(dāng)做條件證明

2試探究。。。。同上

怎么回答時(shí)就要自己在草稿本上算出當(dāng)時(shí)，然后把它作為條件得到滿(mǎn)足的結(jié)論

21當(dāng)xx時(shí)，滿(mǎn)足。是以xx為條件，做出答案。

2試探究。。。。是以。。。。。為條件，做出答案

3把已知的作為條件因?yàn)?已知的內(nèi)容)

因?yàn)闂l件得出的結(jié)論所以(因?yàn)橐阎赖臇|西)

順順順最后就會(huì)得出題目所要求的東西了謝謝數(shù)學(xué)我的強(qiáng)項(xiàng)盡管問(wèn)我吧謝謝..............4格式就按照你的想法寫(xiě)就行。要說(shuō)的是，不少證明題是可以“騙分”的。假如有一道題是要求證某三角形的形狀，你知道是等邊三角形，到不會(huì)算，那你就可以利用等邊三角形的特性，隨便寫(xiě)。多多益善，只要不是錯(cuò)的。老師改卷時(shí)一般先看結(jié)果，結(jié)果對(duì)的話(huà)，只要過(guò)程沒(méi)有很明顯毛病就會(huì)得到大部分分?jǐn)?shù)。就是是被看出是錯(cuò)的，因?yàn)槟銓?xiě)的特性沒(méi)錯(cuò)。老師也不會(huì)給你零分。

試論推理格式與數(shù)學(xué)證明方法孫宗明摘要本文以命題真值代數(shù)的基本知識(shí)為依據(jù)，闡述五種主要的數(shù)學(xué)證明方法：演繹法、完全歸納法、反證法、半反證法、數(shù)學(xué)歸納法。關(guān)鍵詞推理，推理格式，數(shù)學(xué)證明本文假定熟知命題真值代數(shù)的基本知識(shí).本文所使用的符號(hào)是標(biāo)準(zhǔn)的，見(jiàn)【川.1

1當(dāng)xx時(shí)，滿(mǎn)足。是以xx為條件，做出答案。

2試探究。。。。是以。。。。。為條件，做出答案

把已知的作為條件因?yàn)?已知的內(nèi)容)

因?yàn)闂l件得出的結(jié)論所以(因?yàn)橐阎赖臇|西)

順順順最后就會(huì)得出題目所要求的東西了謝謝數(shù)學(xué)我的強(qiáng)項(xiàng)

1當(dāng)xx時(shí)，滿(mǎn)足。是以xx為條件，做出答案。

2試探究。。。。是以。。。。。為條件，做出答案

把已知的作為條件因?yàn)?已知的內(nèi)容)

因?yàn)闂l件得出的結(jié)論所以(因?yàn)橐阎赖臇|西)

順順順最后就會(huì)得出題目所要求的東西了謝謝數(shù)學(xué)我的強(qiáng)項(xiàng)盡管問(wèn)我吧謝謝..............